Las simetrías del hipercubo
Órbitas del grupo de Klein, palíndromos y el mapa nuclear
Toca un hexagrama para recorrer su órbita bajo volteo (fan) y opuesto (dui).
Dos operaciones milenarias son involuciones: el volteo (fan 反, invertir el orden de las líneas) y el opuesto (dui 对, complementar cada línea). Conmutan, de modo que junto con la identidad forman el grupo de Klein V₄. Ese grupo parte los 64 hexagramas en 20 órbitas: familias de hexagramas equivalentes bajo simetría.
Órbita de Dǐng: 4 hexagramas · 4 · 50 · 3 · 49.
Un hexagrama es palíndromo cuando el volteo lo deja igual (1 = 6, 2 = 5, 3 = 4). Hay exactamente 8. Y resulta que son, uno a uno, los hexagramas de los 4 pares del Rey Wen que (al no poder distinguirse por volteo) se emparejan por opuesto (dui) en vez de por fan. Verificado: coinciden los 8.
El hexagrama nuclear (hu gua) toma las líneas interiores para formar uno nuevo. A diferencia de fan y dui, no es reversible: aplicado una y otra vez, todo hexagrama termina cayendo en uno de 3 atractores: 2 puntos fijos y un ciclo de 2 (4 hexagramas atractores), en a lo sumo 2 pasos.
Como grafo, el hipercubo tiene 7 autovalores: 6 − 2k con multiplicidad C(6,k). Son sus modos armónicos, de la vibración global (+6) a la más alterna (−6), y sus multiplicidades suman los 64 hexagramas.
autovalor (arriba: multiplicidad) · Σ multiplicidades = 64
(Hay también 8 antipalíndromos, donde fan = dui: los otros puntos fijos, esta vez del volteo-más-opuesto.)
El grupo de Klein generado por el volteo (fan) y el opuesto (dui) parte los 64 en 20 orbitas; los 8 palindromos son los pares especiales del Rey Wen; el mapa nuclear cae en 3 atractores.
verificar_simetriasLos tipos de afirmación y la bibliografía completa (APA) están en Fundamentos.