Les symétries de l’hypercube
Orbites, palindromes et application nucléaire
Touchez un hexagramme pour parcourir son orbite sous le renversement (fan) et le complément (dui).
Deux opérations millénaires sont des involutions : le retournement (fan 反, inverser l’ordre des lignes) et l’opposé (dui 对, complémenter chaque ligne). Elles commutent, si bien qu’avec l’identité elles forment le groupe de Klein V₄. Ce groupe partage les 64 hexagrammes en 20 orbites : des familles d’hexagrammes équivalents par symétrie.
Orbite de Dǐng : 4 hexagrammes · 4 · 50 · 3 · 49.
Un hexagramme est un palindrome quand le retournement le laisse identique (1 = 6, 2 = 5, 3 = 4). Il y en a exactement 8. Et il se trouve que ce sont, une à une, les hexagrammes des 4 paires du Roi Wen qui (ne pouvant se distinguer par retournement) s’apparient par l’opposé (dui) au lieu de fan. Vérifié : les 8 coïncident.
L’hexagramme nucléaire (hu gua) prend les lignes intérieures pour en former un nouveau. À la différence de fan et de dui, il n’est pas réversible : appliqué encore et encore, tout hexagramme finit par tomber dans l’un des 3 attracteurs : 2 points fixes et un cycle de 2 (4 hexagrammes attracteurs), en 2 pas au plus.
Comme graphe, l’hypercube a 7 valeurs propres : 6 − 2k de multiplicité C(6,k). Ce sont ses modes harmoniques, de la vibration globale (+6) à la plus alternée (−6), et leurs multiplicités totalisent les 64 hexagrammes.
valeur propre (au-dessus : multiplicité) · Σ multiplicités = 64
(Il y a aussi 8 antipalindromes, où fan = dui : les autres points fixes, cette fois du retournement-plus-opposé.)
Le groupe de Klein engendré par le retournement (fan) et l’opposé (dui) partage les 64 en 20 orbites ; les 8 palindromes sont les paires spéciales du Roi Wen ; la carte nucléaire tombe dans 3 attracteurs.
verificar_simetriasLes types d’affirmation et la bibliographie complète (APA) sont dans Fondements.