≋ · 易 · Fourier sobre grupos

Fourier sobre el cubo: la transformada de Walsh-Hadamard

El análisis de Fourier sobre el grupo (Z/2)⁶

Recorre la energía por orden y mira en qué interacciones de líneas vive la estructura.

Hallazgo propio

Esto es el análisis de Fourier, pero sobre el grupo (Z/2)^6 en lugar del círculo: los 64 caracteres de Walsh del cubo son sus frecuencias, cada uno un patrón de paridad sobre un subconjunto de las 6 líneas. La transformada rápida (la mariposa) es exactamente el producto tensorial de 6 matrices de Hadamard, H⊗6, y coincide bit a bit con la definición directa. Aplicada a la secuencia del Rey Wen (a cada hexagrama su número de capítulo), muestra dónde se concentra su energía. Complementa ¿es el Rey Wen aleatorio?: aquel dice si es aleatorio en conjunto; este, en qué frecuencias se aparta.

50%

energía en orden 2 (pares de líneas)

energía en orden 1 (lineal)

Parseval ✓

Σ F² = 64 Σ f²

WHT² = 64f

involución verificada

El espectro completo

Dónde vive la estructura: energía por orden

orden 1 (lineal)

4,1%

orden 2 (pares de líneas)

50,3%

orden 3 (3 líneas)

14,3%

orden 4 (4 líneas)

27,1%

orden 5 (5 líneas)

4,1%

orden 6 (6 líneas)

0,0%

La estructura del Rey Wen vive sobre todo en el orden 2: el 50,3% de su energía (sin contar la media) está en interacciones entre pares de líneas, no en ninguna línea suelta (el orden lineal apenas llega al 4,1%). El orden 6 (todas las líneas a la vez) es casi nulo. Encaja con el test de aleatoriedad: globalmente parece azar, pero la poca señal que tiene son correlaciones de a dos.

Sumados, los órdenes pares 2 y 4 reúnen el 77,4% de la energía, frente al 48% que repartiría un orden al azar. Es la confirmación espectral, por una vía independiente, de lo que ¿es el Rey Wen aleatorio? encontró por Monte Carlo: bajo el estadístico de inversiones, la estructura dominante del orden tradicional es su regla de pares, que aquí aparece como interacciones de orden par entre líneas. (El diálogo con Chan (2026), en esa misma página, matiza que bajo otros estadísticos queda además una señal marginal.)

Los subconjuntos de líneas más marcados

líneas 4·5

F = −410

líneas 2·3

F = −406

líneas 1·3

F = −350

líneas 4·6

F = −346

líneas 2·3·4·5

F = 304

líneas 1·6

F = −256

líneas 1·2·5·6

F = −216

líneas 1·2·4·6

F = −194

Los caracteres con más peso son casi todos pares de líneas (4·5, 2·3, 1·3…): las combinaciones concretas donde el orden tradicional deja su huella.