≋ · 易 · Fourier sur les groupes

Fourier sur le cube : la transformée de Walsh-Hadamard

Analyse de Fourier sur le groupe (Z/2)⁶

Parcourez l’énergie par ordre d’interaction et voyez dans quelles interactions de lignes vit la structure.

Découverte originale

Ceci est l’analyse de Fourier, mais sur le groupe (Z/2)^6 au lieu du cercle : les 64 caractères de Walsh du cube en sont les fréquences, chacun un motif de parité sur un sous-ensemble des 6 lignes. La transformée rapide (le papillon) est exactement le produit tensoriel de 6 matrices de Hadamard, H⊗6, et coïncide bit à bit avec la définition directe. Appliquée à la séquence du Roi Wen (à chaque hexagramme son numéro de chapitre), elle montre où se concentre son énergie. Elle complète l’ordre du Roi Wen est-il aléatoire ? : celle-là dit s’il est aléatoire dans l’ensemble ; celle-ci, dans quelles fréquences il s’en écarte.

50 %

énergie dans l’ordre 2 (paires de lignes)

4 %

énergie dans l’ordre 1 (linéaire)

Parseval ✓

Σ F² = 64 Σ f²

WHT² = 64f

involution vérifiée

Le spectre complet

Où vit la structure : l’énergie par ordre

ordre 1 (linéaire)

4,1 %

ordre 2 (paires de lignes)

50,3 %

ordre 3 (3 lignes)

14,3 %

ordre 4 (4 lignes)

27,1 %

ordre 5 (5 lignes)

4,1 %

ordre 6 (6 lignes)

0,0 %

La structure du Roi Wen vit surtout dans l’ordre 2 : 50,3 % de son énergie (sans compter la moyenne) réside dans des interactions entre paires de lignes, non dans une ligne isolée (l’ordre linéaire atteint à peine 4,1 %). L’ordre 6 (toutes les lignes à la fois) est presque nul. Cela s’accorde avec le test d’aléatoire : globalement cela ressemble au hasard, mais le peu de signal qu’il a, ce sont des corrélations deux à deux.

Additionnés, les ordres pairs 2 et 4 réunissent 77,4 % de l’énergie, face aux 48 % que répartirait un ordre au hasard. C’est la confirmation spectrale, par une voie indépendante, de ce qu’a trouvé l’ordre du Roi Wen est-il aléatoire ? par Monte-Carlo : sous la statistique des inversions, la structure dominante de l’ordre traditionnel est sa règle de paires, qui apparaît ici comme des interactions d’ordre pair entre lignes. (Le dialogue avec Chan (2026), sur cette même page, nuance que sous d’autres statistiques il subsiste en outre un signal marginal.)

Les sous-ensembles de lignes les plus marqués

lignes 4·5

F = −410

lignes 2·3

F = −406

lignes 1·3

F = −350

lignes 4·6

F = −346

lignes 2·3·4·5

F = 304

lignes 1·6

F = −256

lignes 1·2·5·6

F = −216

lignes 1·2·4·6

F = −194

Les caractères qui pèsent le plus sont presque tous des paires de lignes (4·5, 2·3, 1·3…) : les combinaisons concrètes où l’ordre traditionnel laisse son empreinte.