El grupo (Z/2)⁶ y el Sierpinski
XOR, ocho cosets y un fractal que sale de Pascal
Toca un hexagrama para ver su coset (upper XOR lower) y los siete que lo acompañan.
La mutación de líneas es XOR, y con ella los 64 hexagramas forman el grupo (Z/2)⁶: Kun (todo yin) es el neutro y cada hexagrama es su propio inverso (mutarlo dos veces por lo mismo lo devuelve). Dentro viven los 8 hexagramas puros (trigrama duplicado), que forman un subgrupo; sus 8 cosets parten los 64 en una partición nueva.
El coset de un hexagrama son todos los que comparten el mismo upper ⊕ lower (la diferencia binaria entre sus dos trigramas). El coset 0 es el propio subgrupo: los 8 puros.
La matriz S[i][j] = 1 cuando j es submáscara de i (todas sus líneas yang están también en i) es, por el teorema de Lucas, exactamente C(i,j) mod 2: Pascal módulo 2. Dibujada, es el triángulo de Sierpinski, autosimilar por bloques (S = [[S, 0], [S, S]]). Y es la misma relación de dominancia del retículo booleano B6: el fractal es la sombra del orden parcial.
64 × 64 · fila i, columna j · celda encendida cuando j ⊆ i · 729 unos
Con XOR los 64 forman el grupo (Z/2)^6; los 8 puros son un subgrupo cuyos 8 cosets particionan el conjunto, y la matriz de dominancia es Pascal mod 2 (Lucas), el triangulo de Sierpinski.
verificar_grupo_sierpinski · fuente: Lucas, 1878Los tipos de afirmación y la bibliografía completa (APA) están en Fundamentos.