Le groupe (Z/2)⁶ et le Sierpinski
XOR, huit classes latérales et une fractale qui sort de Pascal
Touchez un hexagramme pour voir sa classe latérale (XOR du haut et du bas) et les sept qui l’accompagnent.
La mutation de lignes est un XOR, et avec elle les 64 hexagrammes forment le groupe (Z/2)⁶ : Kun (tout yin) est le neutre et chaque hexagramme est son propre inverse (le muter deux fois par la même chose le ramène). À l’intérieur vivent les 8 hexagrammes purs (trigramme doublé), qui forment un sous-groupe ; ses 8 classes latérales partagent les 64 en une partition nouvelle.
La classe d’un hexagramme, ce sont tous ceux qui partagent le même upper ⊕ lower (la différence binaire entre ses deux trigrammes). La classe 0 est le sous-groupe lui-même : les 8 purs.
La matrice S[i][j] = 1 quand j est un sous-masque de i (toutes ses lignes yang sont aussi dans i) est, par le théorème de Lucas, exactement C(i,j) mod 2 : Pascal modulo 2. Dessinée, c’est le triangle de Sierpinski, autosimilaire par blocs (S = [[S, 0], [S, S]]). Et c’est la même relation de dominance du treillis booléen B6 : la fractale est l’ombre de l’ordre partiel.
64 × 64 · ligne i, colonne j · case allumée quand j ⊆ i · 729 uns
Avec le XOR les 64 forment le groupe (Z/2)^6 ; les 8 hexagrammes purs sont un sous-groupe dont les 8 classes latérales partitionnent l’ensemble, et la matrice de dominance est Pascal mod 2 (Lucas), le triangle de Sierpinski.
verificar_grupo_sierpinski · source : Lucas, 1878Les types d’affirmation et la bibliographie complète (APA) sont dans Fondements.