↝ · marche simple sur Q6

Marche aléatoire et couverture

Combien de temps un marcheur met à voir les 64

Lancez le marcheur et voyez combien de pas il lui faut pour visiter les 64 hexagrammes.

Un marcheur part de Kun et, à chaque pas, mute une ligne au hasard. C’est la marche aléatoire simple sur l’hypercube. Deux questions classiques : combien de temps met-il à revenir à l’origine, et combien à voir les 64 états ? La première a une réponse exacte ; la seconde s’estime par simulation.

1/64

vus dans cette marche

pas effectués

retour attendu (exact)

≈ 360

recouvrement moyen (simulé)

en ䷁ 2. Kūn

le nœud clair est le marcheur ; les verts, déjà vus ; l’anneau marque l’origine (Kun)

Simulation (2 000 recouvrements)

–

recouvrement moyen (pas)

–

un recouvrement d’exemple

–

un retour d’exemple (théorie 64)

Le temps de retour attendu à l’origine vaut exactement 64 : la marche étant symétrique, sa stationnaire est uniforme (1/64 par état) et le retour moyen en est l’inverse. Recouvrir les 64 prend bien plus longtemps, quelque 360 pas en moyenne : visiter la dernière poignée d’états nouveaux est ce qui coûte le plus. La simulation à graine fixe reste dans cette bande, vérifiée par la suite.

La cloche du marcheur

Le nombre de yang du marcheur n’est pas uniforme : sa stationnaire est exactement la binomiale C(6,k)/64, car il y a C(6,k) hexagrammes à k lignes yang et tous sont également probables. En cumulant les visites, la cloche émerge des tirages : la loi des grands nombres en direct.

barres = fréquence observée · contour pointillé = binomiale C(6,k)/64 (la stationnaire exacte)

–

pas simulés

–

écart max. vs binomiale

20/64

sommet : C(6,3)/64

La vitesse de cette convergence est le trou spectral du spectre de Q6 : la seconde valeur propre de la marche (4/6) fixe le temps de mélange. Et la cloche est la plus large des distributions sur les 64 : son entropie par nombre de yang est maximale au centre. La suite le referme : avec 200 000 pas et une graine fixe, l’écart reste sous 0,003.