Le spectre de l’hypercube
Les valeurs propres de Q6 sont les niveaux de yang
Parcourez les sept valeurs propres avec leur multiplicité et comparez-les aux niveaux du treillis et à la marche aléatoire.
L’hypercube Q6 est le graphe des 64 hexagrammes avec une arête par mutation d’une seule ligne. Ses valeurs propres (de la matrice d’adjacence) sont un théorème classique : 6 − 2k avec multiplicité C(6,k), parce que les vecteurs propres sont les caractères χ(v) = (−1)^⟨w,v⟩, de valeur propre 6 − 2·(lignes de w). Et les multiplicités ne sont pas un hasard : ce sont les niveaux de yang du treillis B6, C(6,k) hexagrammes à k lignes yang.
valeur propre 6 − 2k · multiplicité C(6,k) = nombre d’hexagrammes à k lignes yang
La marche aléatoire simple sur Q6 a pour matrice de transition l’adjacence divisée par 6, si bien que son spectre est celui-ci divisé par 6 : 1,00, 0,67, 0,33, 0,00, −0,33, −0,67, −1,00. La deuxième valeur propre, 4/6 ≈ 0,67, fixe sa vitesse de mélange. Le théorème spectral transforme une question dynamique en un comptage de lignes yang.
Les valeurs propres de l’adjacence de Q6 sont 6−2k avec multiplicité C(6,k) : les multiplicités sont les niveaux de yang du treillis B6, et le spectre de la marche simple est celui-ci divisé par 6, ce qui fixe sa vitesse de mélange.
verificar_espectro_q6Les types d’affirmation et la bibliographie complète (APA) sont dans Fondements.